【设f是[0，1]上的连续函数，且满足∫₀¹f(x)dx =∫₀¹xf(x)dx = 0。证明：存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)= 0。】
写完，陈林转过身来。
“这是一道经典的零点存在性问题。“
“看起来条件不多，但实际上蕴含了丰富的信息。“
他顿了顿。
“大家先思考一下。“
“这道题应该从哪里入手？“
教室里安静了几秒钟。
然后就有人开始翻笔记本、翻教材。
沙沙的声音此起彼伏。
陈林没有急着往下讲。
他给学生们留了大概一分钟的思考时间。
然后继续说道：
“好，我们来分析一下。“
他拿起粉笔，在黑板上写了起来。
“首先，这道题给了我们两个积分条件。“
“第一个条件告诉我们，f在[0，1]上的积分为零。“
“第二个条件告诉我们，xf(x)在[0，1]上的积分也为零。“
“那么，这两个条件结合起来，能推出什么？“
他在黑板上写下推导过程。
字迹工整，一笔一划都很清晰。
“我们可以定义一个辅助函数。“
“令F(x)=∫₀ˣf(t)dt。“
“根据第一个条件，F(1)= 0。“
“又因为F(0)= 0，所以F在[0，1]的两个端点处都是零。“
陈林一边写，一边讲解。
语速不快不慢。
每一步都解释得很清楚。
“接下来，我们考虑函数G(x)= xF(x)-∫₀ˣtf(t)dt。“
“对G(x)求导......“
他的粉笔在黑板上飞速移动。
一行行公式跃然而出。
推导过程流畅得像行云流水。
没有任何停顿和犹豫。
就好像这些内容早就刻在他脑子里一样。
他就像是在抄写一份已经写好的答案。
只不过是从脑子里抄到黑板上而已。
“......由此可得，G'(ξ)= 0。“
陈林在黑板上画了一个圆圈，标注了结论。
“而G'(x)= F(x)+ xf(x)- xf(x)= F(x)。“
“所以F(ξ)= 0。“
“又因为F'(x)= f(x)，由罗尔定理......“
他转过身，面向学生们。
“存在η∈(0，ξ)，使得F'(η)= f(η)= 0。“
“证毕。“
教室里安静了两三秒钟。
然后响起学生们轻声讨论的声音。
“这讲得真清晰啊......“
有学生忍不住小声嘀咕。
“我之前做这道题的时候，辅助函数死活想不出来。“
“原来还可以这么构造......“
陈林笑了笑。
“这只是第一道题。“
“接下来还有几道。“
“难度会逐渐递增。“
他在黑板上擦掉刚才的内容。
然后写下了第二道题。
【设{fₙ}是[0，1]上的连续函数列，且fₙ一致收敛于f。若对每个n，fₙ在[0，1]上都没有最大值，证明：f在[0，1]上也没有最大值。】
这道题一写出来，台下就有人皱起了眉头。
明显比第一道难多了。
“这道题考察的是一致收敛的性质。“
陈林开口道。
“以及'没有最大值'这个条件的深层含义。“
“大家想一想，一个连续函数在闭区间上没有最大值，这意味着什么？“
他顿了一下。
“有人能回答吗？“
教室里沉默了几秒钟。
然后有一个声音从中间某排传来。
“是不是意味着......函数在端点处的值比内部都大？“
陈林循声望去。
是一个戴眼镜的男生。
看起来有点紧张。
“不完全对。“
陈林摇了摇头。
“但思路是对的。“
“连续函数在闭区间上一定有最大值，这是魏尔斯特拉斯极值定理。“
“所以这里说的'没有最大值'，指的是最大值不在内点取到。“
“换句话说，最大值在端点上。“
他在黑板上写下：
【∀x∈(0，1)，fₙ(x)< max{fₙ(0)， fₙ(1)}】
“这就是'没有最大值'的准确表述。“
陈林继续道。
“接下来，我们要证明的是，这个性质在一致收敛下是保持的。“
他开始在黑板上写证明过程。
这道题的证明比第一道复杂得多。
涉及到ε-δ语言的精细操作。
还需要仔细处理各种不等式。
但陈林依然游刃有余。
每一步都写得清清楚楚。
每一个逻辑转折都解释得明明白白。
台下的学生们奋笔疾书。
生怕漏掉任何一个细节。
有些人甚至掏出手机开始录像。
打算课后再慢慢回放学习。
......
时间一分一秒地过去。
陈林一共讲了七道题。
每道题都涉及实分析的核心知识点。
从连续性到可积性。
从点态收敛到一致收敛。
从勒贝格积分到测度论基础。
涵盖面非常广。
陈林在挑选题目的时候，要求是涉及多个知识点以及难度适中。
这里的适中是陈林的理想状态：本科生有着朦胧理解，研究生和博士生有着自我启发地步
但是对于他自己来说，这一点很难把握，毕竟他判断题目难度只能依靠自己解题的速度。
所以过去几天他还是把顾铭给的过去十年都做了一遍，挑出了自己解答时间处于中等偏上的那部分题目，再从其中挑出了涉及知识点比较多的。